Geometria analitica · triennio

La parabola

Vertice, asse di simmetria, intersezioni e tangenza. Teoria, una simulazione da esplorare, esercizi guidati e un quiz.

La parabola

La parabola con asse verticale ha equazione \(y=ax^2+bx+c\), con \(a\neq0\). Il segno di \(a\) ne determina la concavità: verso l'alto \((\cup)\) se \(a>0\), verso il basso \((\cap)\) se \(a<0\).

Vertice e asse di simmetria

La parabola è simmetrica rispetto a una retta verticale, l'asse di simmetria, che passa per il vertice \(V\):

\[ x_V=-\frac{b}{2a},\qquad y_V=-\frac{\Delta}{4a},\qquad \Delta=b^2-4ac \]

Il vertice è il punto di minimo se \(a>0\), di massimo se \(a<0\).

Intersezioni con gli assi

Con l'asse \(y\) si pone \(x=0\): la parabola passa sempre per \((0,c)\). Con l'asse \(x\) si risolve \(ax^2+bx+c=0\); il numero di soluzioni dipende dal discriminante:

  • \(\Delta>0\): due intersezioni distinte;
  • \(\Delta=0\): una sola, la parabola è tangente all'asse \(x\);
  • \(\Delta<0\): nessuna intersezione reale.

Forma canonica

Con vertice \(V(h,k)\) la parabola si scrive in forma canonica:

\[ y=a(x-h)^2+k \]

che mostra direttamente le coordinate del vertice.

Retta e parabola

Per le intersezioni tra una retta e una parabola si sostituisce l'equazione della retta e si ottiene un'equazione di 2° grado. Il suo discriminante distingue i casi:

  • due punti — retta secante — se \(\Delta>0\);
  • un punto — retta tangente — se \(\Delta=0\);
  • nessun punto — retta esterna — se \(\Delta<0\).

Esempio: per \(y=x^2-4x+3\) si ha \(x_V=2\), \(y_V=-1\), \(\Delta=4>0\): due zeri in \(x=1\) e \(x=3\).