Geometria analitica · triennio
Circonferenza, ellisse, iperbole e funzione omografica. Teoria, una simulazione da esplorare, esercizi guidati e un quiz.
Le coniche sono le curve che si ottengono intersecando un cono con un piano: circonferenza, ellisse, parabola e iperbole. Qui trattiamo quelle con assi paralleli agli assi cartesiani.
È il luogo dei punti equidistanti dal centro \(C(\alpha,\beta)\); la distanza costante è il raggio \(r\). La forma canonica è:
Sviluppando i quadrati si ottiene la forma generale \(x^2+y^2+ax+by+c=0\), da cui:
La curva è una circonferenza reale solo se \(\alpha^2+\beta^2-c>0\).
Centrata nell'origine, con semiassi \(a\) e \(b\):
Se \(a=b\) l'ellisse è una circonferenza. Traslata di centro \(C(\alpha,\beta)\) diventa \(\dfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\dfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1\).
Centrata nell'origine, con gli asintoti \(y=\pm\dfrac{b}{a}x\):
Anche l'iperbole può essere traslata portando il centro in \(C(\alpha,\beta)\).
La funzione \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (con \(c\neq0\) e \(ad-bc\neq0\)) è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi:
Esempio: \(x^2+y^2-4x+2y-4=0\) ha centro \(C(2,-1)\) e raggio \(r=\sqrt{4+1+4}=3\).
Sposta il centro \(C(\alpha,\beta)\) e cambia il raggio \(r\): osserva la circonferenza e leggi la sua equazione sia in forma canonica sia in forma generale.
Risolvi, scrivi il risultato e verifica. Se ti blocchi, chiedi un aiuto: i suggerimenti diventano via via più espliciti. Con "Nuovo esercizio" ottieni dati diversi.