Geometria analitica · biennio

Il piano cartesiano

Coordinate, distanza tra punti, punto medio, simmetrie e figure. Teoria, una simulazione da esplorare, esercizi guidati e un quiz.

Le coordinate nel piano

Un sistema di riferimento cartesiano associa a ogni punto del piano una coppia ordinata di numeri \((x,\,y)\): l'ascissa \(x\) sull'asse orizzontale e l'ordinata \(y\) su quello verticale. I due assi si incontrano nell'origine \(O(0,0)\) e dividono il piano in quattro quadranti.

  • I quadrante: \(x>0,\ y>0\)
  • II quadrante: \(x<0,\ y>0\)
  • III quadrante: \(x<0,\ y<0\)
  • IV quadrante: \(x>0,\ y<0\)

Distanza tra due punti

Dati \(A(x_1,y_1)\) e \(B(x_2,y_2)\), i segmenti paralleli agli assi \(\Delta x=x_2-x_1\) e \(\Delta y=y_2-y_1\) sono i cateti di un triangolo rettangolo di cui \(AB\) è l'ipotenusa. Per il teorema di Pitagora:

\[ d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \]

In particolare la distanza dall'origine è \(d(P,O)=\sqrt{x^2+y^2}\). Esempio: tra \(A(1,1)\) e \(B(4,3)\) si ha \(\Delta x=3\), \(\Delta y=2\), quindi \(d=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3{,}61\).

Punto medio di un segmento

Le coordinate del punto medio \(M\) sono la media aritmetica delle coordinate degli estremi:

\[ M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right) \]

Esempio: tra \(A(-2,2)\) e \(B(4,-2)\) il punto medio è \(M(1,0)\).

Distanza dagli assi e simmetrie

La distanza di \(P(x,y)\) dall'asse \(y\) è \(|x|\); dall'asse \(x\) è \(|y|\). Le simmetrie fondamentali agiscono così:

  • rispetto all'asse \(x\): \((x,y)\mapsto(x,-y)\)
  • rispetto all'asse \(y\): \((x,y)\mapsto(-x,y)\)
  • rispetto all'origine: \((x,y)\mapsto(-x,-y)\)

Area e allineamento

L'area del triangolo di vertici \(A,B,C\) si ottiene dalla formula del determinante:

\[ \text{Area}=\frac{\bigl|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\bigr|}{2} \]

Se l'area risulta \(0\), i tre punti sono allineati. Un parallelogramma, infine, si riconosce dal fatto che le diagonali si bisecano: i punti medi delle due diagonali coincidono.